Народився 28 лютого 1968 у Ніжині. Вихованець київського «Динамо», де й розпочав кар’єру. Також захищав кольори «Дніпра», СКА, «Гурії», «Шахтаря», «Кривбасу», «Ворскли» та «Закарпаття». У вищій лізі чемпіонату України провів 80 «сухих» матчів. Відбив 7 з 28 пенальті.

За збірну України Андрій Ковтун дебютував у 1993 році в товариському матчі проти Ізраїлю (1:1). Загалом у складі «синьо-жовтих» відіграв 2 матчі. 

Після завершення ігрової кар’єри працював тренером воротарів у «Княжій» (2006) та «Єдності» (2008). Після цього був тренером воротарів у київському ЦСКА (2008-2009) й згодом очолив «армійців». Після розформування клубу спеціаліст очолював рівненський «Верес» (2009). А з літа 2011 року працював тренером воротарів в «Олександрії».

До «Руху-2» приєднався влітку 2024 року, ставши тренером воротарів у штабі Івана Федика. 

Влітку 2025 року Андрій Олександрович став тренером воротарів у першій команді «Руху» в штабі Івана Федика.